Entiers mystères et congruences - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les entiers naturels \(n\) plus petits que \(100\) tels que \(n \equiv 1 \ [7]\) et \(n \equiv 1 \ [4]\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \leqslant 100\) .

Supposons que \(n \equiv 1 \ [7]\) et \(n \equiv 1 \ [4]\) , c'est-à-dire qu'il existe \(q\) , \(q' \in \mathbb{Z}\) tels que \(n=1+7q\) et \(n=1+4q'\) .

On en déduit que \(n-1=7q=4q'\) . Comme \(n-1\) est divisible par \(7\) et par \(4\) , et comme \(7\) et \(4\) sont premiers entre eux, d'après le corollaire du théorème de Gauss, \(n-1\) est divisible par \(7 \times 4=28\) . Les valeurs possibles de \(n-1\) sont donc \(0\) ; \(28\) ; \(56\) et \(84\) .

Ainsi, les valeurs possibles de \(n\) sont \(1\) ; \(29\) ; \(57\) et \(85\) .

Réciproquement, ces quatre valeurs satisfont les hypothèses  \(n \equiv 1 \ [7]\) et \(n \equiv 1 \ [4]\) .